ALJABAR LOGIKA

ALJABAR LOGIKA

3.1    Pernyataan / Proposisi
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya.
Contoh 1 :
p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true)
q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false)
Contoh 2 :
Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :
a.    1 + 2 = 3
b.    Presiden RI tahun 2005 adalah SBY
c.    6 adalah bilangan prima
d.    Warna bendera RI adalah biru dan merah
Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.
Contoh 3 :

Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat yang bukan merupakan proposisi :
a.    Di manakah letak pulau seribu?
b.    Ersa lebih tua dari Arsi
c.    x + y = 5
d.    2 mencintai 3

Kalimat (a) jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat (b) juga bukan proposisi karena ada banyak orang dibumi ini yang bernama Ersa dan Arsi. Kalimat tersebut tidak memberikan keterangan yang lebih spesifik sehingga tidak diketahui kebenaran bahwa Ersa lebih tua dari Arsi.
Dalam kalimat (c), nilai kebenaran kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada. Jika x =1 dan y = 4, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang benar. Tetapi jika x = 4 dan y = 5, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang salah. Jadi secara umum tidak dapat ditentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah.
    Kalimat (e), walaupun mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak mempunyai arti karena relasi mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh karena itu, kalimat tersebut tidak ditentukan benar atau salahnya.
    Suatu pernyataan yang selalu benar dalam semua keadaan dinamakan tautologi , sedangkan pernyataan yang selalu salah dalam semua keadaan dinamakan kontradiksi.
3.2    Negasi / Ingkaran
Negasi suatu kalimat akan mempunyai niali kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika nilai p bernilai benar maka   bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka   akan bernilai benar.
         Atomic/tunggal
                         Majemuk/compound
-    konjungsi
-    disjungsi
-    implikasi/kondisional
-    biimplikasi

    Konjungsi
Kalimat   (dibaca “ p dan q”) akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya bernilai salah (apalagi keduanya) bernilai salah, maka  bernilai salah. Tabel kebenaran dari Konjungsi dapat dilihat pada Tabel 3.1 dibawah ini :
p    q   

1    1    1
1    0    0
0    1    0
0    0    0
Tabel 3.1
    Disjungsi
Kalimat   (dibaca “p atau q”) akan bernilai salah jika bail p maupun q bernilai salah. Secara umum, yang dimaksud dengan penghubung “atau” adalah inclusive OR (kedua penyusun kalimat boleh bernilai benar). Tabel kebenaran dari disjungsi dapat dilihat dibawah ini :
p    q   

1    1    1
1    0    1
0    1    1
0    0    0
Tabel 3.2
Contoh :
1.    Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang uang atau barang
2.    Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan
Dalam kalimat (1), keseluruhan kalimat tetap bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya benar. Jadi, tamu diperbolehkan menyumbang uang sekaligus barang. Sebaliknya, dalam kalimat (2), hanya salah satu diantara kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar, tetapi tidak keduanya. Keseluruhan kalimat akan bernilai jika saya melihat pertandingan itu di TV saja, atau di lapangan saja, tetapi tidak keduanya. Kata penghubung “atau (or)” dalam kalimat (1) disebut Inclusive OR, sedangkan dalam (b) disebut Exclusive OR.
    Equivalen
Dua kalimat disebut ekuivalen ( ) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Atau dengan kata lain, jika hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang “selalu” sama.
Negasi dari konjungsi dan disjungsi
p    q   








1    1    0    0    1    1    0    0    0    0
1    0    0    1    0    1    0    1    1    0
0    1    1    0    0    1    0    1    1    0
0    0    1    1    0    0    1    1    1    1
Tabel 3.3
Kesimpulan :

    Implikasi
Kalimat   akan bernilai salah kalau p benar dan q salah. p disebut  hipotesis (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen). Kalimat berbentuk   disebut kalimat berkondisi karena kebenaran kalimat q tergantung pada kebenaran kalimat p. Tabel kebenaran untuk implikasi adalah :
p    q   

1    1    1
1    0    0
0    1    1
0    0    1
Tabel 3.4
Contoh :
Apabila ada seorang pria yang berkata “jika besok cerah, maka aku akan datang kerumahmu”.
p =  “Besok  cuaca cerah”
q = “aku akan datang ke rumahmu”.
Jika p maupun q keduanya benar, maka akan bernilai benar. Jika p salah (ternyata keesokannya hujan lebat atau cuaca tidak cerah), maka pria tersebut terbebas dari janjinya karena janji tersebut bersyarat, yaitu kalau besok cerah. Jadi, baik pria tersebut datang (berarti q bernilai benar) maupun tidak datang (q bernilai salah), ia tidak akan disalahkan (bernilai benar). Akan tetapi, pria tersebut akan disalahkan apabila keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) apabila keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) tetapi ia tidak datang (q salah).




p
q   



1    1    0    1    1
1    0    0    0    0
0    1    1    1    1
0    0    1    1    1
            Tabel 3.5
    Biimplikasi
  dibaca p jika dan hanya jika q.  .
 bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah. Tabel kebenaran untuk   adalah :
p    q   



1    1    1    1    1
1    0    0    1    0
0    1    1    0    0
0    0    1    1    1
Tabel 3.6
Jika : 
Maka :
        
3.3    Membuat Kesimpulan
    Modus Ponens
Secara simbolik, modus ponens dapat dinyatakan sebagai berikut :

         q (T)
Atau dapat ditulis  .
Implikasi “bila p maka q” yang disumsikan bernilai benar. Apabila selanjutnya diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya implikasi   benar, maka q juga harus bernilai benar. Inferensi seperti itu disebut Modus Ponens. Tabel kebenaran untuk   adalah :

p    Q   



1    1    1    1    1
1    0    0    0    1
0    1    1    0    1
0    0    1    0    1
Tabel 3.7

    Modus Tollens
Secara simbolik, bentuk inferensi Modus Tollens adalah sebagai berikut :

Contoh :
Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati
Zeus tidak dapat mati
Zeus bukan seorang manusia
    Sylogisme